Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，以AD為直徑的⊙O與邊BC相切于點E，與邊AC相交于點G，且＝，連接GO并延長交⊙O于點F，連接BF

（1）求證：①AO＝AG，②BF是⊙O的切線．

（2）若BD＝6，求圖形中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）S陰影＝．

【解析】

（1）①先利用切線的性質判斷出∠ACB＝∠OEB，再用平行線結合弧相等判斷出∠AOG＝∠AGO，即可得出結論；

②先判斷出△AOG是等邊三角形，進而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，進而判斷出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出結論；

（2）先判斷出∠ABC＝30°，進而得出OB＝2BE，建立方程6+r＝2r，繼而求出AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判斷出△OGE是等邊三角形，得出GE＝OE＝6，進而利用根據勾股定理求出CE＝3，即可得出結論．

解：（1）證明：①如圖1，連接OE，

∵⊙O與BC相切于點E，

∴∠OEB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠OEB，

∴AC∥OE，

∴∠GOE＝∠AGO，

∵＝，

∴∠AOG＝∠GOE，

∴∠AOG＝∠AGO，

∴AO＝AG；

②由①知，AO＝AG，

∵AO＝OG，

∴∠AO＝OG＝AG，

∴△AOG是等邊三角形，

∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，

∴∠BOF＝∠AOG＝60°，

由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，

∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠FOB＝∠EOB，

∵OF＝OE，OB＝OB，

∴△OFB≌△OEB（SAS），

∴∠OFB＝∠OEB＝90°，

∴OF⊥BF，

∵OF是⊙O的半徑，

∴BF是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接GE，

∵∠A＝60°，

∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，

∴OB＝2BE，

設⊙O的半徑為r，

∵OB＝OD+BD，

∴6+r＝2r，

∴r＝6，

∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，

∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，

由（1）知，∠EOB＝60°，

∵OG＝OE，

∴△OGE是等邊三角形，

∴GE＝OE＝6，

根據勾股定理得，CE＝，

∴S陰影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×．