Question

【題目】如圖，以△AOB 的頂點 O 為圓心，OB 為半徑作⊙O，交 OA 于點 E，交 AB 于點 D，連接 DE，DE∥OB，延長 AO 交⊙O 于點 C，連接 CB．

(1)求證：；

(2)若 AD＝4，AE＝CE，求 OC 的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)OC =3．

【解析】

（1）連接 CD 交 OB 于 F，推出OB⊥CD，推出 ，

即BC=BD；

（2）連接 CD 交 OB 于 F，連接 EF，推出四邊形 EFBD 是平行四邊形，設 OF＝x，列出關于x的方程，解出其值，即可得出OC的值.

如圖 1，連接 CD 交 OB 于 F，

∵CE 是直徑，

∴∠EDC＝90°，

∵DE∥OB，

∴∠EDC＝∠OFC＝90°， 即 OB⊥CD，

∴；

如圖 2，連接 CD 交 OB 于 F，連接 EF，

由(1)得：DE∥OB，OB⊥CD，點 F 是 CD 的中點，

∵AE＝CE，

∴EF∥AD，EF＝ AD＝2 ，

∵O 是 CE 的中點，F 是 CD 的中點，

∴OF＝ DE，

∵EF∥BD，DE∥BF，

∴四邊形 EFBD 是平行四邊形，

∴BF＝DE，

設 OF＝x，則 BF＝DE＝2x，OC＝OB＝3x，

∵，

∴BC＝BD＝EF＝2 ，

∵DF2＝CF2

∴，

解得：x＝±1，

∵x＞0，

∴x＝1，

∴OC＝3x＝3．