Question

（2006•大連）如圖1，P為Rt△ABC所在平面內任意一點（不在直線AC上），∠ACB=90°，M為AB邊中點．操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連續PM并延長到點E，使ME=PM，連接DE．
探究：
（1）請猜想與線段DE有關的三個結論；
（2）請你利用圖2，圖3選擇不同位置的點P按上述方法操作；
（3）經歷（2）之后，如果你認為你寫的結論是正確的，請加以證明；
如果你認為你寫的結論是錯誤的，請用圖2或圖3加以說明；
（注意：錯誤的結論，只要你用反例給予說明也得分）
（4）若將“Rt△ABC”改為“任意△ABC”，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關的結論（直接寫答案）．

Answer 1

【答案】分析：連接BE，根據邊角邊可證△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因為BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下幾種情況雖然圖象有所變化，但是證明方法一致．
解答：解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．

（2）如圖4，如圖5．

（3）方法一：
如圖6，
連接BE，
∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，
∴△PMA≌△EMB．
∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，
∴PA∥BE．
∵平行四邊形PADC，
∴PA∥DC，PA=DC．
∴BE∥DC，BE=DC，
∴四邊形DEBC是平行四邊形．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴DE⊥AC．

方法二：
如圖7，連接BE，PB，AE，
∵PM=ME，AM=MB，
∴四邊形PAEB是平行四邊形．
∴PA∥BE，PA=BE，
余下部分同方法一：

方法三：
如圖8，連接PD，交AC于N，連接MN，
∵平行四邊形PADC，
∴AN=NC，PN=ND．
∵AM=BM，AN=NC，
∴MN∥BC，MN=BC．
又∵PN=ND，PM=ME，
∴MN∥DE，MN=DE．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴DE⊥AC．

（4）如圖9，DE∥BC，DE=BC．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質和判定，以及全等的應用，難易程度適中．