Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點，將一直角△DEF紙片平放在△ACB所在的平面上，且使直角頂點重合于點D（C始終在△DEF內部），設紙片的兩直角邊分別與AC、BC相交于M、N．
（1）當∠A=∠NDB=45°時，四邊形MDNC的面積為

 

；
（2）當∠A=45°，∠NDB≠45°時，四邊形MDNC的面積是否與（1）相同？說明理由；
（3）當∠A=∠NDB=30°時，四邊形MDNC的面積為

 

；
（4）當∠A=30°，∠NDB≠30°時，四邊形MDNC的面積是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化（即與（3）相同），說明理由，若發(fā)生變化，設四邊形MDNC的面積為S，BN為x，求S與x之間的關系．

Answer 1

分析：（1）根據在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點，求出AD=DB，再利用勾股定理求出MD=ND的長，在求證出四邊形MDNC為正方形即可．
（2）連接CD，易證△MDA≌△NDC，然后可得S_{四邊形MDNC}=

1

2

×2×2即可．
（3）根據∠A=∠NDB=30°，求證四邊形MDNC為矩形，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出MD，再利用勾股定理求出DN，然后即可求出四邊形MDNC的面積．
（4）過D分別作DP⊥AC于P，DR⊥BC于R，求證△DPM∽△DRN，利用其對應邊成比例求得RN=

3

PM，RN=1-x，PM=

1-x

3

，然后即可求得四邊形MDNC的面積．

解答：解：
（1）如圖1，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點，
∴AD=DB=2，
∵∠A=∠NDB=45°，
∴AC∥DE，∠A=∠B=45°，
∴MD=ND，
∴MD=ND=

2

，
∴四邊形MDNC為正方形．
∴四邊形MDNC的面積為

2

×

2

=2；

（2）相同．
如圖2，連接CD，
∵∠A=45°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點，
∴CD⊥AB，
∴AD=BD=CD，
∴∠ADM+∠CDM=90°，∠MDC+∠CDN=90°，
∴∠MDA=∠CDN，
∠A=∠DCN=45°，
∴△MDA≌△NDC，
∴S_{四邊形MDNC}=S_△MDC+S_△DNC=S_△ADC=2×

1

2

×2=2；

（3）如圖3，∵∠A=∠NDB=30°，
∴四邊形MDNC為矩形，
∴MD=1，DN=

3

，
∴S_矩形MDNC=MD•DN=1×

3

=

3

；

（4）發(fā)生變化．
當∠A=30°，∠BDN≠30°時，如圖4，過D分別作DP⊥AC于P，DR⊥BC于R，
∵∠PDR=∠FDE=90°，
∴∠PDM=∠NDR，
∴△DPM∽△DRN，
∴

RN

PM

=

DR

DP

=

3

1

∴RN=

3

PM，RN=1-x，PM=

1-x

3

，
∴∠BDN＜30°時，S=

3

+

1

2

×

3

（1-x）-

1

2

×

1-x

3

×1=

4

3

3

-

3

3

x，
或∠BDN＞30°時，S=

3

-

1

2

×

3

（1-x）+

1

2

×

1-x

3

×1=

3

3

+

3

3

x．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，綜合性較強，尤其是（4）有一定的拔高難度，屬于難題．