Question

如圖，AB是O的直徑，AE交O于點E，且與O的切線CD互相垂直，垂足為D。
（1）求證：∠EAC＝∠CAB；
（2）若CD＝4，AD＝8：①求⊙O的半徑；②求tan∠BAE的值。

Answer 1

解：（1）證明：連接OC。
∵CD是⊙O的切線
∴CD⊥OC
又∵CD⊥AE
∴OC∥AE
∴∠1＝∠3
∵OC＝OA
∴∠2＝∠3
∴∠1＝∠2
即∠EAC＝∠CAB
（2）解：①連接BC。
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AE于點D
∴∠ACB＝∠ADC＝90°
∵∠1＝∠2
∴△ACD∽△ABC
∴
∵AC²＝AD²＋CD²＝4²＋8²＝80
∴AB＝＝10
∴⊙O的半徑為10÷2＝5。
②連接CF與BF。
∵四邊形ABCF是⊙O的內接四邊形
∴∠ABC＋∠AFC＝180°
∵∠DFC＋∠AFC＝180°
∴∠DFC＝∠ABC
∵∠2＋∠ABC＝90°， ∠DFC＋∠DCF＝90°
∴∠2＝∠DCF
∵∠1＝∠2
∴∠1＝∠DCF
∵∠CDF＝∠CDF
∴△DCF∽△DAC
∴
∴DF＝=2
∴AF＝AD-DF＝8-2＝6
∵AB是⊙O的直徑
∴∠BFA＝90°
∴BF＝＝8
∴tan∠BAD＝。