Question

【題目】如圖1，在數軸上A，B兩點對應的數分別是6，-6，∠DCE=90°（C與O重合，D點在數軸的正半軸上）

（1）如圖1，若CF平分∠ACE，則∠AOF=_______；

（2）如圖2，將∠DCE沿數軸的正半軸向右平移t（0＜t＜3）個單位后，再繞點頂點C逆時針旋轉30t度，作CF平分∠ACE，此時記∠DCF=α．

①當t=1時，α=_______

②猜想∠BCE和α的數量關系，并證明；

（3）如圖3，開始∠D1C1E1與∠DCE重合，將∠DCE沿數軸的正半軸向右平移t（0＜t＜3）個單位，再繞點頂點C逆時針旋轉30t度，作CF平分∠ACE，此時記∠DCF=α，與此同時，將∠D1C1E1沿數軸的負半軸向左平移t（0＜t＜3）個單位，再繞點頂點C1順時針旋轉30t度，作C1F1平分∠AC1E1，記∠D1C1F1=β，若α與β滿足|α-β|=40°，請直接寫出t的值為

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①30°；②∠BCE=2α，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據角平分線的定義計算即可；

（2）①根據∠FCD=∠ACF-∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；

②猜想：∠BCE=2α．根據∠BCE=∠AOB-∠ECD-∠ACD計算即可；

（3）求出α，β（用t表示），構建方程即可解決問題；

解：（1）如圖1中，

∵∠EOD=90°，OF平分∠EOD，

∴∠FOD=∠EOD=45°，

故答案為：45°；

（2）①如下圖，

當t=1時，∵∠DCA=30°，∠ECD=90°，

∴∠ECA=120°，

∵CF平分∠ACE，

∴∠FCA=∠ECA=60°

∴α=∠FCD=60°-30°=30°

故答案為：30°．

②如下圖，猜想：∠BCE=2α．

理由：∵∠DCE=90°，∠DCF=α，

∴∠ECF=90°-α，

∵CF平分∠ACE，

∴∠ACF=∠ECF=90°-α，

∵點A，O，B共線

∴∠AOB=180°

∴∠BCE=∠AOB-∠ECD-∠ACD=180°-90°-（90°-2α）=2α．

（3）如圖3中，

由題意：α=∠FCA-∠DCA=（90°+30t）-30t=45°-15t，

β=∠AC1D1+∠AC1F1=30t+（90°-30t）=45°+15t，

∵β-α=40°，

∴30t=40°，

解得：t=．

故答案為：．