Question

如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內切圓圓心O，且點E在半圓弧上．若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內切圓半徑r=4，則半圓的直徑AB=

21

．

Answer 1

分析：連接EB、AE，OJ、OI，可得OHCI是正方形，且邊長是4，可設BD=x，AD=y，則BD=BH=x，AD=AI=y，分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關系列方程組求解即可求得半圓的直徑AB=21．

解答：解：∵正方形DEFG的面積為100，
∴正方形DEFG邊長為10．
連接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切線，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形OICJ是正方形，且邊長是4，
設BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，
在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）²+（y+4）²=（x+y）²①；
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
∴ED²=AD•BD，即10²=x•y②．
解①、②得x+y=21，即半圓的直徑AB=21．
故答案為：21．

點評：本題綜合考查的是三角形的內切圓與內心，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用相似三角形的性質求解是解答此題的關鍵．