Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，BC=12cm，AD=8cm．點P從點B出發，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB，AC，AD于E，F，H，當點P到達點C時，點P與直線m同時停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）連接DE、DF，當t為何值時，四邊形AEDF為菱形？

（2）連接PE、PF，在整個運動過程中，△PEF的面積是否存在最大值？若存在，試求當△PEF的面積最大時，線段BP的長．

（3）是否存在某一時刻t，使點F在線段EP的中垂線上？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當t=2s時，四邊形AEDF為菱形；（2）BP=6cm；（3）存在某一時刻t，使點F在線段EP的中垂線上，t=.

【解析】

試題分析：（1）根據四邊形AEDF為菱形，則EF垂直平分AD，此時，DH= AD=4cm，再根據直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，即可求得t==2（s）；（2）先根據EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，進而得出 ，據此求得EF=12﹣3t，再根據S△PEF=EFDH=（12﹣3t）2t=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12（0＜t≤4），求得當t=2秒時，S△PEF存在最大值，最大值為12cm2，最后計算線段BP的長；（3）若點F在線段EP的中垂線上，則FE=FP，過點F作FG⊥BC于G，則FG=HD=2t，FG∥AD，根據△FCG∽△ACD，得到，進而得到CG=t，PG=12﹣3t﹣t，最后在Rt△PFG中，根據勾股定理列出方程（12﹣3t﹣t）2+（2t）2=（12﹣3t）2，即可求得t的值．

試題解析：（1）如圖1，若四邊形AEDF為菱形，則EF垂直平分AD，

此時，DH=AD=4cm，

又∵直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，

∴t==2（s），

此時，EF垂直平分AD，

∴AE=DE，AF=DF．

∵AB=AC，AD⊥BC于點D，

∴AD⊥BC，∠B=∠C．

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∴AE=AF=DE=DF，

即四邊形AEDF為菱形，

故當t=2s時，四邊形AEDF為菱形；

（2）如圖2，∵直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，AD=8cm，

∴DH=2t，AH=8﹣2t，

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴，即．

解得EF=12﹣3t，

∴S△PEF=EFDH=（12﹣3t）2t=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12（0＜t≤4），

∴當t=2秒時，S△PEF存在最大值，最大值為12cm2，

此時BP=3t=6cm；

（3）存在某一時刻t，使點F在線段EP的中垂線上．

∵AB=AC，AD⊥BC，BC=12cm，AD=8cm，

∴AB=AC=10cm，

若點F在線段EP的中垂線上，則FE=FP，

由（2）可得，EF=12﹣3t=PF，

如圖3，過點F作FG⊥BC于G，則FG=HD=2t，FG∥AD，

∴△FCG∽△ACD，

∴，即，

∴CG=t，

又∵BP=3t，BC=12cm，

∴PG=12﹣3t﹣t，

∴Rt△PFG中，（12﹣3t﹣t）2+（2t）2=（12﹣3t）2，

解得t1=或t2=0（舍去），

∴當t=時，點F在線段EP的中垂線上．