Question

如圖①，O為坐標原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB=，反比例函數y=（k＞0）在第一象限內的圖象經過點A，與BC交于點F．
（1）若OA=10，求反比例函數解析式；
（2）若點F為BC的中點，且△AOF的面積S=12，求OA的長和點C的坐標；
（3）在（2）中的條件下，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖②），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO．是否存在這樣的點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先過點A作AH⊥OB，根據sin∠AOB=，OA=10，求出AH和OH的值，從而得出A點坐標，再把它代入反比例函數中，求出k的值，即可求出反比例函數的解析式；
（2）先設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，根據sin∠AOB=，得出AH=a，OH=a，求出S_△AOH的值，根據S_△AOF=12，求出平行四邊形AOBC的面積，根據F為BC的中點，求出S_△OBF=6，
根據BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S_△BMF=BM•FM，S_△FOM=6+a²，再根據點A，F都在y=的圖象上，S_△AOH=k，求出a，最后根據S_{平行四邊形AOBC}=OB•AH，得出OB=AC=3，即可求出點C的坐標；
（3）分別根據當∠APO=90°時，在OA的兩側各有一點P，得出P₁，P₂；當∠PAO=90°時，求出P₃；當∠POA=90°時，求出P₄即可．
解答：解：（1）過點A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A點坐標為（6，8），根據題意得：
8=，可得：k=48，
∴反比例函數解析式：y=（x＞0）；

（2）設OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，
∵sin∠AOB=，
∴AH=a，OH=a，
∴S_△AOH=•a•a=a²，
∵S_△AOF=12，
∴S_{平行四邊形AOBC}=24，
∵F為BC的中點，
∴S_△OBF=6，
∵BF=a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=a，BM=a，
∴S_△BMF=BM•FM=a•a=a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=6+a²，
∵點A，F都在y=的圖象上，
∴S_△AOH=k，
∴a²=6+a²，
∴a=，
∴OA=，
∴AH=，OH=2，
∵S_{平行四邊形AOBC}=OB•AH=24，
∴OB=AC=3，
∴C（5，）；

（3）存在三種情況：
當∠APO=90°時，在OA的兩側各有一點P，分別為：P₁（，），P₂（-，），
當∠PAO=90°時，P₃（，），
當∠POA=90°時，P₄（-，）．
點評：此題考查了反比例函數的綜合，用到的知識點是三角函數、平行四邊形、反比例函數、三角形的面積等，要注意運用數形結合的思想，要注意（3）有三種情況，不要漏解．