Question

有一個定理：若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c為系數且為常數）的兩個根，則x₁+x₂=-

b

a

、x₁•x₂=

c

a

，這個定理叫做韋達定理．如：x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的兩個根，則x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1．
若x₁、x₂是方程x²+mx-2m=0的兩個根．（其中m≠0）試求：
（1）x₁+x₂與x₁•x₂的值（用含有m的代數式表示）．
（2）x₁²+x₂²的值（用含有m的代數式表示）．[提示：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂]
（3）若

x1

x2

+

x2

x1

=1，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用韋達定理可求x₁+x₂，x₁x₂的值；
（2）對x₁²+x₂²進行變形，再把x₁+x₂，x₁x₂的值整體代入就可求值；
（3）可對

x1

x2

+

x2

x1

=1的左邊進行變形，再把x₁+x₂，x₁x₂的值整體代入，即可得到關于m的方程，解即可．

解答：解：根據題意得
（1）x₁+x₂=-m，x₁•x₂=-2m；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-m）²+4m=m²+4m；

（3）∵

x1

x2

+

x2

x1

=1，
∴

x12+x22

x1x2

=1，
∴

m2+4m

-2m

=1，
解得m₁=-6，m₂=0
經檢驗-6是m的值，0不是．
∴m=-6．
當m=-6時，方程即：x²-6x+12=0
判別式△=（-6）²-4×12=36-48=-12＜0
則方程無解．
∴m的值不存在．

點評：本題利用了根與系數的關系，即對于一個一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根x₁、x₂有這樣的關系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．