Question

如圖1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于點D．
（1）若正方形ABOC的邊長為2，對角線BC與OA相交于點E．則：
①BC的長為

 

；②DE的長為

 

；③根據已知及求得的線段OB、BC、DE的長，請找出它們的數量關系？
（2）如圖2，當直角∠BAC繞著其頂點A順時針旋轉時，角的兩邊分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點C₁和B₁，連接B₁C₁交OA于P．B₁D平分∠OB₁C₁，交OA于點D，過點D作DE⊥B₁C₁，垂足為E，請猜想線段OB、B₁C₁、DE三者之間的數量關系，并證明你的猜想；
（3）在（2）的條件下，當B₁E=6，C₁E=4時，求直線B₁D的解析式．

Answer 1

分析：（1）①根據正方形的性質即可求得對角線BC的長；②BD平分∠OBC，經計算可知△ABD為等腰三角形，所以可知道AD長度，即可求得DE長度；③經計算可知線段OB、BC、DE的長的關系為OB=

1

2

BC+DE；
（2）猜想線段OB、B₁C₁、DE的長的關系為OB=

1

2

B1C1+DE，利用相似三角形即可證明；
（3）根據（2）中條件求出點D和點的B₁坐標，代入即可求出直線B₁D的解析式．

解答：解：（1）①2

2

；（1分）
②2-

2

；（3分）
③線段OB、BC、DE的長的關系為OB=

1

2

BC+DE（5分）
注：只要符合三條線段長度關系的式子都對．

（2）猜想線段OB、B₁C₁、DE的長的關系為OB=

1

2

B1C1+DE．（6分）
證明如下：過點D作DF⊥OB于F．
∵∠BAC=∠B₁AC₁=90°，
∴∠B₁AB=∠C₁AC．
又∵AB=AC，∠B₁BA=∠C₁CA=90°，
∴△B₁BA≌△C₁CA（ASA），（7分）
∴B₁A=C₁A，
∴AB₁=

2

2

B₁C₁．
∵∠B₁DA=∠AOB+∠OB₁D=45°+∠OB₁D，
∠DB₁A=∠DB₁C₁+∠AB₁C₁=45°+∠DB₁C₁，
∵∠OB₁D=∠DB₁C₁，
∴∠B₁DA=∠DB₁A，
∴AD=AB₁=

2

2

B₁C₁（8分）
∴OD=

2

DF=

2

DE且AO=

2

OB，
∴AD+OD=

2

OB，
∴

2

2

B₁C₁+

2

DE=

2

OB，
∴OB=

1

2

B₁C₁+DE．

（3）∵B₁E=6，C₁E=4，
∴B₁C₁=10．
由（2）得OB=5+DE=5+DF，（10分）
∴BF=5．
∵B₁F=B₁E=6，
∴B₁B=1，AB₁=5

2

，
∴AB=OB=

(5 2 )2-12

=7，
∴DE=2．
∴D的坐標為（2，2），B₁的坐標為（0，8），（11分）
∴直線B₁D的解析式y=-3x+8．（12分）

點評：本題主要考查對于一次函數的綜合應用以及相似三角形的掌握．