Question

【題目】（1）如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，填空：當點A位于　 　時，線段AC的長取到最大值，則最大值為　 ；（用含a、b的式子表示）。

（2）如圖2，若點A為線段BC外一動點，且BC=4，AB=2，分別以AB，AC為邊，作等邊和等邊，連接CD，BE.

①圖中與線段BE相等的線段是線段 ，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值為 。

（3）如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值為 ，及此時點P的坐標為 。（提示：等腰直角三角形的三邊長a、b、c滿足a：b：c=1：1：）

Answer 1

【答案】（1）CB延長線上；a+b（2）①DC②6；（3）3+2，（2-，）或（2-，-）.

【解析】

1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論；
（2）①根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果；
（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到PN=PA，BN=AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為過P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質，即可得到結論．

（1）CB延長線上；a+b；

（2）①DC，

理由如下：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=BE.

②6

（3）

（2-，）或（2-，-）