Question

【題目】如圖1，E是等邊三角形ABC的邊AB所在直線上一點，D是邊BC所在直線上一點，且D與C不重合，若EC=ED．則稱D為點C關于等邊三角形ABC的反稱點，點E稱為反稱中心．
在平面直角坐標系xOy中，
（1）已知等邊三角形AOC的頂點C的坐標為（2，0），點A在第一象限內，反稱中心E在直線AO上，反稱點D在直線OC上．
①如圖2，若E為邊AO的中點，在圖中作出點C關于等邊三角形AOC的反稱點D，并直接寫出點D的坐標：___.
②若AE=2，求點C關于等邊三角形AOC的反稱點D的坐標；
（2）若等邊三角形ABC的頂點為B（n，0），C（n+1，0），反稱中心E在直線AB上，反稱點D在直線BC上，且2≤AE＜3．請直接寫出點C關于等邊三角形ABC的反稱點D的橫坐標t的取值范圍:P_____(用含n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①（-1，0）②D（-2，0）；（2）n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．

【解析】

（1）①過點E作EF⊥OC，垂足為F，根據等邊三角形的性質可得DF=FC=，OF=，即可求OD=1，即可求點D坐標；
②分點E與坐標原點O重合或點E在邊OA的延長線上兩種情況討論，根據反稱點定義可求點D的坐標；
（2）分點E在點E在AB的延長線上或在BA的延長線上，根據平行線分線段成比例的性質，可求CF=DF的值，即可求點D的橫坐標t的取值范圍．

（1）①如圖，過點E作EF⊥OC，垂足為F，

∵EC=ED，EF⊥OC
∴DF=FC，
∵點C的坐標為（2，0），
∴AO=CO=2，
∵點E是AO的中點，
∴OE=1，
∵∠AOC=60°，EF⊥OC，
∴∠OEF=30°，
∴OE=2OF=1
∴OF=，
∵OC=2，
∴CF==DF，
∴DO=1
∴點D坐標（-1，0）
故答案為：（-1，0）
②∵等邊三角形AOC的兩個頂點為O（0，0），C（2，0），
∴OC=2．
∴AO=OC=2．
∵E是等邊三角形AOC的邊AO所在直線上一點，且AE=2，
∴點E與坐標原點O重合或點E在邊OA的延長線上，
如圖，若點E與坐標原點O重合，

∵EC=ED，EC=2，
∴ED=2．
∵D是邊OC所在直線上一點，且D與C不重合，
∴D點坐標為（-2，0）
如圖，若點E在邊OA的延長線上，且AE=2，

∵AC=AE=2，
∴∠E=∠ACE．
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠OAC=∠ACO=60°．
∴∠E=∠ACE=30°．
∴∠OCE=90°．
∵EC=ED，
∴點D與點C重合．
這與題目條件中的D與C不重合矛盾，故這種情況不合題意，舍去，
綜上所述：D（-2，0）
（2）∵B（n，0），C（n+1，0），
∴BC=1，
∴AB=AC=1
∵2≤AE＜3，
∴點E在AB的延長線上或在BA的延長線上，
如圖點E在AB的延長線上，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BD

∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=，
∵AH⊥BC，EF⊥BD
∴AH∥EF
,
若AE=2，AB=1
∴BE=1，
∴=1
∴BH=BF=
∴CF==DF
∴D的橫坐標為：n--=n-2，
若AE=3，AB=1
∴BE=2，
∴=
∴BF=2BH=1
∴CF=DF=2
∴D的橫坐標為：n-1-2=n-3，
∴點D的橫坐標t的取值范圍：n-3＜t≤n-2，
如圖點E在BA的延長線上，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BD，

同理可求：點D的橫坐標t的取值范圍：n+2≤t＜n+3，
綜上所述：點D的橫坐標t的取值范圍：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．
故答案為：n-3＜t≤n-2或n+2≤t＜n+3．