Question

如圖，在等邊△ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點，D為MN上任意一點，BD，CD的延長線分別交于AB，AC于點E，F．若

1

CE

+

1

BF

=6，則△ABC的邊長為（　　）

• A、

  1

  8

• B、

  1

  4

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

分析：過點A作直線PQ∥BC，延長BE交PQ于點P；延長CF，交PQ于點Q．證明△BCE∽△PAE，△CBF∽△QAF，
構造

1

CE

+

1

BF

與BC的關系求解．

解答：解：過點A作直線PQ∥BC，延長BD交PQ于點P；延長CD，交PQ于點Q．
∵PQ∥BC，
∴△PQD∽△BCD，
∵點D在△ABC的中位線上，
∴△PQD與△BCD的高相等，
∴△PQD≌△BCD，
∴PQ=BC，
∵AE=AC-CE，AF=AB-BF，
在△BCE與△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，
∴△BCE∽△PAE，

AE

CE

=

AP

BC

…①
同理：△CBF∽△QAF，

AF

BF

=

AQ

BC

…②
①+②，得：

AC-CE

CE

+

AB-BF

BF

=

AP+AQ

BC

．
∴

AC

CE

+

AB

BF

=3，
又∵

1

CE

+

1

BF

=6，AC=AB，
∴△ABC的邊長=

1

2

．
故選C．

點評：本題綜合考查了三角形中位線定理及三角形的相似的知識，解題的關鍵是作平行線構造相似，從而得到已知與所求線段的關系．