Question

（根據課本習題改編）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四邊形DEFG為△ABC的內接正方形，若設正方形的邊長為x，容易算出x的長為

60

37

．
探究與計算：
（1）如圖2，若三角形內有并排的兩個全等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，則正方形的邊長為

 

；
（2）如圖3，若三角形內有并排的三個全等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，則正方形的邊長為

 

；
（3）如圖4，若三角形內有并排的n個全等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，請你猜想正方形的邊長是多少？并對你的猜想進行證明．

Answer 1

分析：利用相似三角形的對應高的比等于相似比可列出關于x的方程求解即可．如三角形內有并排的n個全等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，設正方形的邊長是x，則過點C作CN⊥AB，垂足為N，交GF于點M，易得△CGF∽△CAB，所以

CM

CN

=

GF

AB

，即

12 5 -x

12 5

=

nx

5

解得x=

60

25+12n

．

解答：解：（1）

60

49

；（2分）

（2）

60

61

；（2分）

（3）若三角形內有并排的n個全等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，正方形的邊長是

60

25+12n

．（2分）
證明，如圖，
過點C作CN⊥AB，垂足為N，交GF于點M，
設小正方形的邊長為x，
∵四邊形GDEF為矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，
易算出CN=

12

5

，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，即

12 5 -x

12 5

=

nx

5

，
∴x=

60

25+12n

．
即小正方形的邊長是

60

25+12n

．（4分）

點評：主要考查了正方形，矩形的性質和相似三角形的性質．會利用三角形相似中的相似比來得到相關的線段之間的等量關系是解題的關鍵．