Question

（2006•浙江）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l₁經過點A（-2，0）和點B（0，），直線l₂的函數表達式為y=-x+，l₁與l₂相交于點P．⊙C是一個動圓，圓心C在直線l₁上運動，設圓心C的橫坐標是a．過點C作CM⊥x軸，垂足是點M．
（1）填空：直線l₁的函數表達式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線l₁經過點A（-2，0）和點B（0，），可設直線l₁的解析式為y=kx+b，將A、B的坐標代入，利用方程組即可求得該解析式，又因直線l₂的函數表達式為y=-x+，l₁與l₂相交于點P，所以將兩函數解析式聯立得到方程組，解之即可得到交點P的坐標，過P作x軸的垂線段，垂足為H，由P的坐標可知，AH=EH=3，PH=，所以∠PEA=∠PAE=30°，利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，可得到∠FPB是60°；
（2）當C在射線PA的延長線上時，設⊙C和直線l₂相切時，D是切點，連接CD，則CD⊥PD．過點P作CM的垂線PG，垂足為G，因為∠CPG=∠CAB=30°，PC=PC，所以可證Rt△CDP≌Rt△PGC，所以PG=CD=R．當點C在射線PA上，⊙C和直線l₂相切時，同理可證Rt△CDP≌Rt△PGC，所以PG=CD=R．取R=-2時，C在AP的反向延長線上時，因為P的橫坐標為1，所以a=1+R=-1，C在PA上時，因為P的橫坐標為1，所以a=-（R-1）=3-3；
（3）當⊙C和直線l₂不相離時，由（2）知，分兩種情況討論：①當0≤a≤-1時，四邊形是一個直角梯形，所以有=，利用二次函數的頂點公式即可求出S的最大值；
②當=3-3≤a＜0時，顯然⊙C和直線l₂相切即a=3-3時，S最大．此時
s_最大值=，綜合以上①和②，即可求出答案．
解答：解：（1）設直線l₁的解析式為y=kx+b，
∵直線l₁經過點A（-2，0）和點B（0，），
∴，
解得，
∴直線l₁的解析式為y=x+；
聯立l₁與l₂得，
，
解得，
∴P（1，）；
過P作x軸的垂線段，垂足為H，
∵P（1，），
∴AH=EH=3，PH=，
∴∠PEA=∠PAE=30°，
∴∠FPB=∠PEA+∠PAE=60°；

（2）設⊙C和直線l₂相切時的一種情況如圖1所示，D是切點，連接CD，則CD⊥PD．過點P作CM的垂線PG，垂足為G，則Rt△CDP≌Rt△PGC（∠PCD=∠CPG=30°，CP=PC），
∴PG=CD=R．
當點C在射線PA上，⊙C和直線l₂相切時，同理可證．
取R=-2時，a=1+R=-1，或a=-（R-1）=3-3；

（3）當⊙C和直線l₂不相離時，由（2）知，分兩種情況討論：
①如圖2，當0≤a≤-1時，
=，
時，（滿足a≤-1），S有最大值．此時s_最大值=（）；
②當=3-3≤a＜0時，顯然⊙C和直線l₂相切即a=3-3時，S最大．此時
s_最大值=．
綜合以上①和②，當a=3或a=時，存在S的最大值，其最大面積為．
點評：考查一次函數的解析式、圖象、性質和圓的相關知識，及綜合應用相關知識分析問題、解決問題的能力．
此題也較為新穎，符合新課標的理念，揭示了求最值的一般方法，本題的難度設置也較為合適，使同學們都能有發揮自己能力的空間．