Question

【題目】如圖①，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，連接BD，CE，BD和CE相交于點F，若△ABC不動，將△ADE繞點A任意旋轉一個角度．

（1）求證：△BAD≌△CAE．

（2）如圖①，若∠BAC=∠DAE=90°，判斷線段BD與CE的關系，并說明理由；

（3）如圖②，若∠BAC=∠DAE=60°，求∠BFC的度數；

（4）如圖③，若∠BAC=∠DAE= ，直接寫出∠BFC的度數（不需說明理由）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD⊥CE，理由見解析；（3）；（4）

【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD，從而得出∠BAD=∠CAE，即可得出△BAD≌△CAE．

（2）判定BD與CE的關系，可以根據角的大小來判定．由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE，進而得△BAD≌△CAE，所以∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB．再由∠BAC=∠DAE=90°，所以BD⊥CE．

（3）根據①的∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，所以∠BFC=∠BAC，再由∠BAC=∠DAE=60°，所以∠BFC=60°

（4）根據②∠BFC=∠BAC，所以∠BFC=α

試題解析：（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE

在△BAD與△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

（2）BD與CE相互垂直，BD=CE．

由（1）知，△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

∵∠BAC=90°，

∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠BFC=90°

∴BD⊥CE．

（3）由題①得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，

∵∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，

∴∠BFC=∠BAC

∴∠BFC=60°．

（4）由題（1）得∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，

∵∠BAC=∠DAE=α，

∴∠CBF+∠BCF=∠ABC+∠ACB，

∴∠BFC=∠BAC

∴∠BFC=α．