Question

【題目】如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．
（1）求證：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數量關系？并對你的猜想加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵AD∥BE，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD；

②∵AD∥BE，

∴∠ADC=∠DCE，

由①知AB=AD，

又∵AB=AC，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∴∠ACD=∠DCE，

∴CD平分∠ACE

（2）解：∠BDC= ∠BAC，

∵BD、CD分別平分∠ABE，∠ACE，

∴∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE，

∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，

∴∠BDC+ ∠ABC= ∠ACE，

∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，

∴∠BDC+ ∠ABC= ∠ABC+ ∠BAC，

∴∠BDC= ∠BAC

【解析】（1）①根據平行線的性質得到∠ADB=∠DBC，由角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC，等量代換得到∠ABD=∠ADB，根據等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根據平行線的性質得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代換得到AC=AD，根據等腰三角形的性質得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到結論；（2）根據角平分線的定義得到∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+ ∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠DC+ ∠ABC= ∠ABC+ ∠BAC，即可得到結論．