Question

【題目】直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在直線(xiàn)PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線(xiàn)MN上運(yùn)動(dòng)．

（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線(xiàn)，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大小；

（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線(xiàn)，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線(xiàn)，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；

（3）如圖3，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線(xiàn)與∠BOQ的角平分線(xiàn)及其延長(zhǎng)線(xiàn)相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，試求∠ABO的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）∠AEB的大小不變（2）∠CED的大小不變（3）∠ABO為45°或36°

【解析】分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線(xiàn)得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，根據(jù)直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，進(jìn)而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線(xiàn)，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形內(nèi)角和定理可知∠F=45°，再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線(xiàn)可知∠CDE+∠DCE=112.5°，進(jìn)而得出結(jié)論；（3））由∠BAO與∠BOQ的角平分線(xiàn)相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，進(jìn)而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線(xiàn)可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍分四種情況進(jìn)行分類(lèi)討論．

本題解析：

（1）∠AEB的大小不變，

∵直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線(xiàn)，

∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，

∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；

（2）∠CED的大小不變．

延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F．

∵直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠PAB+∠MBA=270°，

∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線(xiàn)，

∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，

∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，

∴∠F=45°，

∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，

∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線(xiàn)，

∴∠CDE+∠DCE=112.5°，

∴∠E=67.5°； (其它方法酌情給分)

（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線(xiàn)相交于E，

∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，

∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線(xiàn)，

∴∠EAF=90°．

在△AEF中，∵有一個(gè)角是另一個(gè)角的4倍，故有：

①∠EAF=4∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；

②∠EAF=4∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（不合題意，舍去）；

③∠F=4∠E，∠E=18°，∠ABO=36°；

④∠E=3∠F，∠E=72°，∠ABO=144°（不合題意，舍去）．

∴∠ABO為45°或36°．