Question

已知二次函數的解析式為y=x²-mx+m-1（m為常數）．
（1）求證：這個二次函數圖象與x軸必有公共點；
（2）設這個二次函數圖象與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．當BC=時，求m的值．

Answer 1

（1）證明：∵△=m²-4（m-1）=m²-4m+4=（m-2）²≥0，
∴這個二次函數圖象與x軸必有公共點；

（2）解：∵當y=0時，x²-mx+m-1=0，（x-m+1）（x-1）=0，
∴x₁=m-1，x₂=1，
如果點A為 （1，0），那么點B （m-1，0）．而C（0，m-1）．
∵BC=，
∴BC²=（m-1）²+（m-1）²=（3）²，
∴m=-2（不符合題意，舍去）或m=4．
如果點A為 （m-1，0），那么點 B為 （1，0）．而C（0，m-1）．
BC²=1²+（m-1）²=（3）²，解得m=1+（不合題意，舍去）或m=1-．
∴m的值為4或1-．
分析：（1）根據一元二次方程根的判別式進行解答即可；
（2）令y=0求出AB兩點的坐標，用m表示出C點坐標，再根據勾股定理求出m的值即可．
點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題及勾股定理，在解答（2）時要注意進行分類討論，不要漏解．