Question

【題目】小明同學在做作業時，遇到如下問題：如圖1，已知：等邊△ABC，點D在BC上，以AD為邊作等邊△ADE，連接CE，求證：∠ACE=60°.

（1）請你解答小明的這道題；
（2）在這個問題中，當D在BC上運動時，點E是否在一條線段上運動？
（直接答“是”或“不是”）
（3）如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E是直線BC上的一個動點，以DE為邊作正方形DEFG（DEFG按逆時針排列）。當E在直線BC上運動時，點G是否在一條直線上運動？如果是，請你畫出這條直線并證明；如果不是，也請說明理由；
（4）連接AG、CG，①求證：AG2-CE2是定值； ②求AG+CG的最小值（直接寫出答案即可）。

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，

∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD△ACE，

∴∠ACE=∠B=60°.

（2）

解：是；∵∠ACE=60°，∠ACB=60°，∴∠BCE=120°，

∴E在以CB為一條邊的120°角的另一邊上，

當點D與B重合，E與C重合；

當點D與C重合時，CE的長最長=AC；

故點E在一條線段上運動。

（3）

解：是。證明：過G作GH⊥CD于H，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，

∴∠DCE=90°，∠EDG=90°，DE=DG，

∴∠EDC+∠GDC=90°，∠EDC+∠CED=90°，

∴∠GDC=∠CED，又∵DE=DG，∠DCE=∠GHD=90度，

∴△CDE△HGD，∴GH=CD=2.

又∵GH⊥CD，∴點G是在與CD的距離為2的直線上，過G作直線//CD，即點G在直線l上運動。

（4）

解：①延長AD交直線l于P，由（1）可得△CDE△HGD，

∴CE=DH。

∵l//CD，GH⊥CD，∴∠DHG=∠PGH=90°，

又∵∠PDH=90°，∴四邊形DHGP是矩形，

∴PG=DH=CE，PD=GH=2，

在Rt△AGP中，AG2-PG2=AP2=42=16，

∴AG2-CE2=AG2-PG2=16是定值。

②過A作關于l的對稱點A′，連接A′C，交直線l于G′，則AG+CG≥A′G′+CG′=A′C，

在Rt△A′CD中，CD=2,A′D=6,∴A′C = 。

【解析】（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=60°，則∠BAD=∠CAE，由“SAD”證得△ABD△ACE，即可證得∠ACE=∠B=60°；（2）在D的運動過程中∠BCE=∠ACE=+∠ACB=120°不變，CE邊所在射線不變，且CE的最長=AC；（3）與前面同理，構造全等三角形，過G作GH⊥CD于H，證明△CDE△HGD，即GH=CD=2且GH⊥CD，則G在一條直線與CD平行，且距離為2；（4）①在（1）的結論下，延長AP交直線l于點P，則可得PG=DH=CE，則AG2-CE2=AG2-PG2是定值；②作A點關于直線l的對稱點A’，連接A’C即為最短路徑，再由勾股定理解出長度。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．