Question

【題目】已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，點B坐標為（10，10），點P從O出發沿O→C→B運動，速度為1個單位每秒，連接AP．設運動時間為t．

（1）若拋物線y=﹣（x﹣h）2+k經過A，B兩點，求拋物線函數關系式；
（2）當0≤t≤10時，如圖1，過點O作OH⊥AP于點H，直線OH交邊BC于點D，連接AD，PD，設△APD的面積為S，求S的最小值；
（3）在圖2中以A為圓心，OA長為半徑作⊙A，當0≤t≤20時，過點P作PQ⊥x軸（Q在P的上方），且線段PQ=t+12：
①當t在什么范圍內，線段PQ與⊙A只有一個公共點？當t在什么范圍內，線段PQ與⊙A有兩個公共點？
②請將①中求得的t的范圍作為條件，證明：當t取該范圍內任何值時，線段PQ與⊙A總有兩個公共點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣（x﹣h）2+k經過A、B兩點，

∴根據對稱性可知h=5，

將B（10，10）代入y=﹣（x﹣5）2+k，可得10=﹣25+k，

解得k=35，

∴拋物線函數關系式為y=﹣（x﹣5）2+35；

（2）解：如圖1，∵OD⊥AP，∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠AOD=∠COD+∠AOD=90°，

∴∠OAP=∠COD，

又∵∠AOP=∠OCD=90°，AO=OC，

∴△AOP≌△OCD，

∴OP=CD=t，

∴CP=10﹣t，BD=10﹣t，

∵S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP，

∴當0≤t≤10時，S=10×10﹣ ×10t﹣ t（10﹣t）﹣ ×10（10﹣t）= t2﹣5t+50，

配方，得S= （t﹣5）2+ ，

∴當t=5時，Smin=

（3）解：①如圖，當點Q在⊙A上時，連接AQ，

∵PQ=12+t，PR=BC=10，

∴RQ=2+t，

又∵AQ=AB=10，AR=OP=t，

∴Rt△ARQ中，t2+（t+2）2=102，

解得t1=6，t2=﹣8（舍去），

∴當t=6時，點Q落在⊙A上；

如圖，當P在CB上時，CQ與⊙A相切，

當點P與點C重合時，t=10；當點P與點B重合時，t=20；

∴當0≤t＜6或10≤t≤20時，線段PQ與⊙A只有一個公共點；

當6≤t＜10時，線段PQ與⊙A有兩個公共點；

②如圖，當6≤t＜10時，AR=t＜10，

∴⊙A與直線PQ相交，

又∵AP2=AO2+OP2=100+t2，即AP＞10，

∴點P在⊙A外，

又∵AQ2=AR2+RQ2=t2+（t+2）2，r2=100，

∴AQ2﹣r2=t2+（t+2）2﹣100=2（t+1）2﹣98，

∴當6≤t＜10時，2（t+1）2﹣98≥0，

∴點Q在⊙A上或⊙A外，

綜上所述，當6≤t＜10時，線段PQ與⊙A總有兩個公共點．

【解析】（1）根據正方形的性質和二次函數的對稱性可求出h=5，再把B的坐標代入解析式可求得；
（2）先證明△AOP≌△OCD可得OP=CD=t，從而可表示出CP和BD，根據S△ADP=S正方形ABCO﹣S△AOP﹣S△ABD﹣S△CDP可得S與t的關系式，從而求出S的最小值；
（3）①先求出點P與點C重合、與點B重合時的t的值以及Q落在圓A上時的t的值，結合題意可得t的取值范圍；
②由題意易得圓A與直線PQ相交和點P在圓外，在證明點Q在圓上或圓外即可.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的最值和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．