Question

（2006•肇慶）如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm．某一時刻，動點M從A點出發沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：
（1）經過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？
（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）關于動點問題，可設時間為x，根據速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關系，列方程求解即可，如本題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關系；
（2）先假設相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在．
解答：解：（1）設經過x秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，
則有：（6-2x）x=×3×6，即x²-3x+2=0，（2分）
解方程，得x₁=1，x₂=2，（3分）
經檢驗，可知x₁=1，x₂=2符合題意，
所以經過1秒或2秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的．（4分）

（2）假設經過t秒時，以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此有或（5分）
即①，或②（6分）
解①，得t=；解②，得t=（7分）
經檢驗，t=或t=都符合題意，
所以動點M，N同時出發后，經過秒或秒時，以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似．（8分）
點評：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質和一元二次方程的運用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性質，才會靈活的運用．注意：一般關于動點問題，可設時間為x，根據速度表示出所涉及到的線段的長度，找到相等關系，列方程求解即可．