Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，D、E分別為AB、BC上的點，且AE、CD交于點F．若AE、CD為△ABC的角平分線．

（1）求證：∠AFC=120°；

（2）若AD=6，CE=4，求AC的長？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=10．

【解析】

（1）由題意∠BAC+∠BCA=120°，根據∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180﹣=120°，即可解決問題；（2）在AC上截取AG=AD=6，連接FG．只要證明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再證明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG=CE=4，由此即可解決問題．

（1）∵AE、CD分別為△ABC的角平分線，

∴∠FAC=，∠FCA=，

∵∠B=60°

∴∠BAC+∠BCA=120°，

∴∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180°﹣×120°=120°．

（2）在AC上截取AG=AD=6，連接FG．

∵AE、CD分別為△ABC的角平分線

∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，

∵∠AFC=120°，

∴∠AFD=∠CFE=60°，

在△ADF和△AGF中

，

∴△ADF≌△AGF（SAS）

∴∠AFD=∠AFG=60°，

∴∠GFC=∠CFE=60°，

在△CGF和△CEF中

，

∴△CGF≌△CEF（ASA），

∴CG=CE=4，

∴AC=10．