Question

【題目】已知二次函數y＝ax2－8ax(a＜0)的圖像與x軸的正半軸交于點A，它的頂點為P．點C為y軸正半軸上一點，直線AC與該圖像的另一交點為B，與過點P且垂直于x軸的直線交于點D，且CB：AB＝1：7．

（1）求點A的坐標及點C的坐標(用含a的代數式表示)；

（2）連接BP，若△BDP與△AOC相似（點O為原點），求此二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】（1）A(8，0), C(0，－8a)．(2)

【解析】試題分析：（1）由y＝ax2－8ax可得A(8，0)，由CB：AB＝1：7得點B的橫坐標為1，故B(1，－7a)，C(0，－8a)．

（2）對稱軸與x軸交于點H，過點B作BF⊥PD于點F，易知，BF＝3，AH＝4，DH＝－4a，則FD＝－3a， PF＝－9a，由相似，可知：BF2=DF·PF，從而求得a的值，故可求函數關系式.

試題解析：（1）P(4，－16a)，A(8，0)，

∵CB：AB＝1：7，

∴點B的橫坐標為1

∴B(1，－7a)，

∴C(0，－8a)．

（2）∵△AOC為直角三角形，

∴只可能∠PBD＝90°，且△AOC∽△PBD．………（5分）

設對稱軸與x軸交于點H，過點B作BF⊥PD于點F，

易知，BF＝3，AH＝4，DH＝－4a，則FD＝－3a，

∴PF＝－9a，

由相似，可知：BF2＝DF·PF，

∴9＝－9a·(－3a)，

∴a＝， a＝－ (舍去)．

∴y＝－x2－x．