Question

（2007•陜西）如圖，在直角梯形OBCD中，OB=8，BC=1，CD=10．
（1）求C，D兩點的坐標；
（2）若線段OB上存在點P，使PD⊥PC，求過D，P，C三點的拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CE⊥OD于點E，則四邊形OBCE為矩形．利用矩形的性質可求得：C，D兩點的坐標分別為C（8，1），D（0，7）．（2）根據PC⊥PD，可知∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∠2=∠3．則Rt△POD∽Rt△CBP，可求PO：1=7：（8-PO）．求得PO=1，或PO=7．則點P的坐標為（1，0），或（7，0）．設經過D，P，C三點的拋物線表達式為y=ax²+bx+c，分別利用待定系數法可求得①當點P的坐標為（1，0）時，所求拋物的表達式為：y=x²-x+7．
②當點P為（7，0）時，所求拋物線的表達式為：y=x²-x+7．
解答：解：（1）過點C作CE⊥OD于點E，則四邊形OBCE為矩形．
∴CE=OB=8，OE=BC=1．
∴．
∴OD=DE+OE=7．
∴C，D兩點的坐標分別為C（8，1），D（0，7）．（4分）

（2）∵PC⊥PD，
∴∠1+∠2=90度．
又∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∴Rt△POD∽Rt△CBP．
∴PO：CB=OD：BP．
即PO：1=7：（8-PO）．
∴PO²-8PO+7=0．
∴PO=1，或PO=7．
∴點P的坐標為（1，0），或（7，0）．（6分）
①當點P的坐標為（1，0）時，
設經過D，P，C三點的拋物線表達式為y=ax²+bx+c，
則，
∴，
∴所求拋物線的表達式為：y=x²-x+7．（9分）
②當點P為（7，0）時，設經過D，P，C三點的拋物線表達式為y=ax²+bx+c，
則，
∴
∴所求拋物線的表達式為：y=x²-x+7．（10分）
（說明：求出一條拋物線表達式給（3分），求出兩條拋物線表達式給4分）
點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式和三角形全等的判定以及全等的性質等．要熟練掌握才能靈活運用．