Question

已知二次函數y=-

1

2

x2+mx+

3

2

的圖象經過點A（-3，-6），并且該拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸的交點為E，P為拋物線的頂點．如圖所示．
（1）求這個二次函數表達式．
（2）設點D為線段OC上的一點，且滿足∠DPC=∠BAC，說明直線PC與直線AC的位置關系，并求出點D的坐標．
（3）在（1）中的拋物線上是否存在一點F，使S_△BCF=

3

4

S_△BCP？若存在，請直接寫出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A點坐標代入二次函數y=-

1

2

x2+mx+

3

2

可求出m，從而確定二次函數的解析式；
（2）先把二次函數配成頂點式得到頂點P的坐標為（1，2），設點D坐標為（a，0），過點P作PH⊥x軸，垂足為H，過點A作AQ⊥x軸，垂足為Q，根據點的坐標可得到
△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，則∠PCH=45°，∠ACQ=45°，于是得到直線PC與直線AC垂直；由∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB得到△PDC∽Rt△ABC，根據相似比有

DC

BC

=

PC

AC

，即

3-a

4

=

2 2

6 2

，解得a=

5

3

，從而得到D點坐標；
（3）先計算出S_△BCP=4，則S_△BCF=

3

4

S_△BCP=3，設F點坐標為（x，y），則

1

2

×4×|y|=3，解得y=

3

2

或-

3

2

，然后分別代入二次函數解析式中求出對應的x的值，從而得到F點的坐標．

解答：解：（1）∵點A（-3，-6）在拋物線上，
∴-6=-

1

2

×9-3m+

3

2

，
解得m=1，
∴所求二次函數的表達式為y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（2）∵y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2，
∴P點坐標為（1，2），
如圖，設點D坐標為（a，0），過點P作PH⊥x軸，垂足為H，
過點A作AQ⊥x軸，垂足為Q，
令y=0得-

1

2

x²+x+

3

2

=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B點坐標為（-1，0），C點坐標為（3，0）
∵P（1，2），A（-3，-6），
∴PH=HC=2，QA=QC=6，
∴△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，
∴∠PCH=45°，∠ACQ=45°，
∴∠PCA=90°，
∴PC⊥CA；
∵∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB，
∴△PDC∽Rt△ABC，
∴

DC

BC

=

PC

AC

，即

3-a

4

=

2 2

6 2

，解得a=

5

3

，
∴D坐標為（

5

3

，0）；
（3）存在．
∵S_△BCP=

1

2

×4×2=4，
而S_△BCF=

3

4

S_△BCP，
∴S_△BCF=3，
設F點坐標為（x，y）
∴

1

2

×4×|y|=3，
∴y=

3

2

或-

3

2

，
當y=

3

2

時，-

1

2

x²+x+

3

2

=

3

2

，解得x₁=0，x₂=2；
當y=-

3

2

時，-

1

2

x²+x+

3

2

=-

3

2

，解得x₁=1+

7

，x₂=1-

7

，
∴F（0，

3

2

）或（2，

3

2

）或（1+

7

，-

3

2

）或（1-

7

，-

3

2

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合題：先根據幾何條件確定拋物線上點的坐標，再利用待定系數法確定拋物線的解析式，然后運用二次函數的性質解決有關問題．