Question

（2012•郯城縣一模）如圖，已知直線l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則cosα=（　　）

• A．

  2 5

  5

• B．

  5

  5

• C．

  5

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：過點D作DE⊥l₁于點E并反向延長交l₄于點F，根據同角的余角相等求出∠α=∠CDF，根據正方形的每條邊都相等可得AD=DC，然后利用“AAS”證明△ADE和△DCF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=AE，再利用勾股定理列式求出AD的長度，然后根據銳角的余弦值等于鄰邊比斜邊列式計算即可得解．

解答：解：如圖，過點D作DE⊥l₁于點E并反向延長交l₄于點F，
在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
∵∠α+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDF=180°-90°=90°，
∴∠α=∠CDF，
在△ADE和△DCF中，

∠α=∠CDF ∠AED=∠DFC=90° AD=DC

，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴DF=AE，
∵相鄰兩條平行直線間的距離都是1，
∴DE=1，AE=2，
根據勾股定理得，AD=

AE2+DE2

=

22+12

=

5

，
所以，cosα=

AE

AD

=

2

5

=

2 5

5

．
故選A．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，銳角三角形函數的定義，作輔助線，構造出全等三角形以及∠α所在的直角三角形是解題的關鍵．