Question

【題目】等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上．

（1）如圖1，求證：∠BCO＝∠CAO

（2）如圖2，若OA＝5，OC＝2，求B點的坐標

（3）如圖3，點C（0，3），Q、A兩點均在x軸上，且S△CQA＝18．分別以AC、CQ為腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，連接MN交y軸于P點，OP的長度是否發生改變？若不變，求出OP的值；若變化，求OP的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（﹣2，﹣3）（3）OP的長度不會發生改變，9

【解析】

（1）根據同角的余角相等得出結論即可；

（2）先過點B作BD⊥y軸于D，再判定△CDB≌△AOC（AAS），求得BD=CO=2，CD=AO=5，進而得出OD=5-2=3，即可得到B點的坐標；

（3）先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH=AQ，HN=QC，然后根據點C（0，3），S△CQA=18，求得AQ=12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出，即可求得CP=3+6=9（定值）．

解：（1）如圖1，

∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，

∴∠BCO+∠ACO＝90°＝∠CAO+∠ACO，

∴∠BCO＝∠CAO；

（2）如圖2，過點B作BD⊥y軸于D，則∠CDB＝∠AOC＝90°，

在△CDB和△AOC中，

，

∴△CDB≌△AOC（AAS），

∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，

∴OD＝5﹣2＝3，

又∵點B在第三象限，

∴B（﹣2，﹣3）；

（3）OP的長度不會發生改變．

理由：如圖3，過N作NH∥CM，交y軸于H，則

∠CNH+∠MCN＝180°，

∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，

∴∠MCQ+∠ACN＝180°，

∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，

∴∠CNH＝∠ACQ，

又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，

∴∠HCN＝∠QAC，

在△HCN和△QAC中，

，

∴△HCN≌△QAC（ASA），

∴CH＝AQ，HN＝QC，

∵QC＝MC，

∴HN＝CM，

∵點C（0，3），S△CQA＝18，

∴×AQ×CO＝18，即×AQ×3＝18，

∴AQ＝12，

∴CH＝12，

∵NH∥CM，

∴∠PNH＝∠PMC，

∴在△PNH和△PMC中，

，

∴△PNH≌△PMC（AAS），

∴CP＝PH＝CH＝6，

又∵CO＝3，

∴CP＝3+6＝9（定值），

即OP的長度始終是9．