Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△A1B1C，旋轉角α（0°＜α＜90°），連接BB1，設CB1交AB于D，AlB1分別交AB，AC于E，F．

（1）求證：△BCD≌△A1CF；

（2）若旋轉角α為30°，

①請你判斷△BB1D的形狀；

②求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①△BB1D是等腰三角形．②-1．

【解析】試題分析：

（1）①由AC=BC可得∠A=∠ABC；②由△ABC繞點C逆時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C可得：∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α；①②結合可得：∠A1=∠CBD，A1C=BC，這樣由“ASA”可證得△BCD≌△A1CF；

（2）①由CB=CB1，∠BDB1=α+∠CBA，α為30°，證明∠BDB1=∠BBD=75°可得BD=BB1，從而可得△BB1D是等腰三角形；

②過點D作DG⊥BC于點G，設DG=x，則由∠DBC=45°，α為30°可得：BG=x，CD=2x，CG=2-x，然后在Rt△CDG中由勾股定理建立方程解出x的值，即可求得CD的長.

試題解析：

（1）證明：（1）∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵△ABC繞點C逆時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，
∴∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α．
∴∠A1=∠CBD，A1C=BC．
在△CBD與△CA1F中，
，

∴△BCD≌△A1CF（ASA）．
（2）解：①△BB1D是等腰三角形，理由如下：
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又由旋轉的性質得到BC=B1C，則∠CB1B=∠CBB1，
∴∠CB1B=∠CBB1==75°．
又∵∠BDB1=∠ABC+α=45°+30°=75°，
∴∠BDB1=∠DB1B=75°，
∴BD=BB1，
∴△BB1D是等腰三角形．
②如圖，過D作DG⊥BC于G，設DG=x，

∵ɑ=30°，∠DBE=45°，
∴BG=x，CG=CB-BG=2-x，DC=2x，
又∵在Rt△CDG中，CD2=DG2+CG2，

∴，解得： （不合題意，舍去），

∴CD=2x=.