Question

如圖，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，則OD：OE：OF=（　　）

• A、a：b：c
• B、

  1

  a

  ：

  1

  b

  ：

  1

  c

• C、cosA：cosB：cosC
• D、sinA：sinB：sinC

Answer 1

分析：作出△ABC的外接圓，連接OA、OB、OC，由垂徑定理和圓周角定理可得∠B=

1

2

∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若設⊙O的半徑為R，可用R分別表示出OD、OE、OF，進而可得到它們的比例關系．

解答：解：如圖，連接OA、OB、OC；
∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，
∴∠BAC=∠BOD；
同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；
設⊙O的半徑為R，則：
OD=R•cos∠BOD=R•cos∠BAC，
OE=R•cos∠AOE=R•cos∠ABC，
OF=R•cos∠BOF=R•cos∠ACB，
故OD：OE：OF=cos∠BAC：cos∠ABC：cos∠ACB，
故選C．

點評：此題主要考查了三角形的外接圓、圓周角定理及垂徑定理的綜合應用．