Question

已知：是方程的兩個實數根，且，拋物線的圖像經過點A()、B().

(1)求這個拋物線的解析式；
(2) 設（1）中拋物線與軸的另一交點為C,拋物線的頂點為D，
試求出點C、D的坐標和△BCD的面積；
(3) P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥軸，與拋物線交于H點，
若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=﹣x²﹣4x+5 
（2）C點的坐標為（﹣5，0）．點D（﹣2，9）；15
（3）P點的坐標為（﹣，0）或（﹣，0）

試題分析：（1）解方程x²﹣6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以點A、B的坐標分別為A（1，0），B（0，5）．
將A（1，0），B（0，5）的坐標分別代入y=﹣x²+bx+c．
得   解這個方程組，得
所以，拋物線的解析式為y=﹣x²﹣4x+5
（2）由y=﹣x²﹣4x+5，令y=0，得﹣x²﹣4x+5=0
解這個方程，得x₁=﹣5，x₂=1
所以C點的坐標為（﹣5，0）．由頂點坐標公式計算，
得點D（﹣2，9）
過D作x軸的垂線交x軸于M．

則S_△DMC=×9×（5﹣2）=
S_梯形MDBO=×2×（9+5）=14，
S_△BOC=×5×5=
所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC﹣S_△BOC=14+﹣=15
答：點C、D的坐標和△BCD的面積分別是：（﹣5，0）、（﹣2，9）、15；
（3）設P點的坐標為（a，0）

因為線段BC過B、C兩點，所以BC所在的直線方程為y=x+5．
那么，PH與直線BC的交點坐標為E（a，a+5），
PH與拋物線y=﹣x²﹣4x+5的交點坐標為H（a，﹣a²﹣4a+5）．
由題意，得①EH=EP，
即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）
解這個方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）
②EH=EP，即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）
解這個方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去），
P點的坐標為（﹣，0）或（﹣，0）
點評：本題考查拋物線，掌握拋物線的性質是解本題的關鍵，掌握待定系數法，會用待定系數法求函數的解析式，會求拋物線與坐標軸的交點坐標