Question

（2012•上虞市模擬）如圖，將量角器和含30°角（圖中的∠BAC）的一塊直角三角板緊靠著放在同一平面內，使D，C，B三點在同一條直線上，量角器的非圓弧邊DC的長恰好是該三角板一邊BC的2倍，過點A作量角器圓弧所在圓的切線，切點為E，則點E所對應的量角器上的刻度數是

60

度（只要求寫出銳角的度數）．

Answer 1

分析：首先設半圓的圓心為O，連接OE，OA，由題意易得AC是線段OB的垂直平分線，即可求得∠AOC=∠ABC=60°，又由AE是切線，易證得Rt△AOE≌Rt△AOC，繼而求得∠AOE的度數，則可求得答案．

解答：解：設半圓的圓心為O，連接OE，OA，
∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°，即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC=∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切線，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO=90°，
在Rt△AOE和Rt△AOC中，
∵

AO=AO OE=OC

，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），
∴∠AOE=∠AOC=60°，
∴∠EOD=180°-∠AOE-∠AOC=60°．
∴點E所對應的量角器上的刻度數是60°．
故答案為：60．

點評：此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質以及垂直平分線的性質．此題難度適中，解題的關鍵是掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．