Question

【題目】如圖，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對稱軸作△ABC的對稱圖形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，線段BD與CE相交于點O，連接BE、ED、DC、OA．有如下結論：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④2EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正確的結論個數為_____．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據軸對稱的性質可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，由∠EAD＝3∠BAC﹣360°可得①正確；易證△ABE是等邊三角形，根據翻折的性質和三角形內角和定理可得∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正確；根據S△ACE＝S△ADB，可得BD邊上的高與CE邊上的高相等，利用角平分線的判定定理可證③正確；條件不足，無法證明2EA＝ED，故④錯誤；在△ABP和△AEQ中，易證BP＜EQ，故⑤錯誤.

解：∵△ABD和△ACE是△ABC的軸對稱圖形，

∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，

∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正確；

∴∠ABE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠BAE＝60°，

由翻折的性質得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，

又∵∠EPO＝∠BPA，

∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正確；

∵△ACE≌△ADB，

∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，

∴BD邊上的高與CE邊上的高相等，

即點A到∠BOC兩邊的距離相等，

∴OA平分∠BOC，故③正確；

只有當AC＝AB時，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④錯誤；

在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，

∴BP＜EQ，故⑤錯誤；

綜上所述，結論正確的是①②③．