Question

拋物線的解析式y=ax²+bx+c滿足如下四個條件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-3；a＜b＜c
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B的左邊），與y軸的交點為C．
①在第一象限內，這條拋物線上有一點P，AP交y軸于點D，當OD=1.5時，試比較S_△APC與S_△AOC的大小．
②在x軸的上方，這條拋物線上是否存在點Pn，使得S_△APnC=S_△AOC？若存在，請求出點Pn的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了四個條件：abc=0 ①；a+b+c=3②；ab+bc+ca=-3③；a＜b＜c④．
根據①可知b=0或c=0（a≠0），那么本題可分兩種情況進行討論：
一：當b=0，可聯立②③，求出a，c的值，然后根據④判斷出符合條件的a，c的值，進而可求出拋物線的解析式．
二：當c=0時，方法同一．
綜合兩種情況可得出拋物線的解析式．
（2）①比較S_△APC和S_△AOC的大小實際就是比較△DPC和△AOD的面積．
△AOD中，根據OA，OD的長，可求出△AOD的面積．
△DPC中，可以CD為底邊，P點的縱坐標為高，
過P作PG⊥x軸于G，OG就是△DPC的高．
可根據相似三角形ADO和APG，得出關于OD，PG，OA，OG的比例關系式．
設出P點的坐標，即可根據所得的比例關系式求出P點的坐標，從而可求出△DPC的面積．
然后比較△DPC和△AOD的面積即可得出S_△APC和S_△AOC的大小．
②本題要分兩種情況進行討論：
當P點在第一象限時，解法同①，只不過要設出P點的坐標和OD的長，其他解法基本一樣，只是最后不是比較大小，而是得出一個等量關系．根據這個等量關系來求P點的坐標．
可分別過C，A作坐標軸的平行線，可得出一個矩形，設兩條平行線的交點為Q，那么△AQC與△AOC的面積相等，而P在△ACQ內，因此△ACP的面積總小于△ACQ的面積．因此△ACP的面積不會和△ACO的面積相等．此種情況不成立．

解答：解：（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
當b=0時：
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+c=3 ac=-4

，
解得

a1=-1 c1=4

．
或

a2=4 c2=-1

∵a＜b＜c．
∴

a2=4 c2=-1

（不合題意，舍去）
∴a=-1，b=0，c=4
＜2＞當c=0時
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+b=3 ab=-4

解之得

a1=4 b1=-1

．
或

a2=-1 b2=4

，
∵a＜b＜c；
∴

a1=4 b1=-1

和

a2=-1 b2=4

，都不合題意，舍去．
∴所求的拋物線解析式為y=-x²+4．

（2）①在y=-x²+4中，當y=0時，x=±2；當x=0時，y=4．
∴A、B、C三點的坐標分別為（-2，0），（2，0），（0，4）
過P作PG⊥x軸于G，

設點P坐標為（m，n）
∵點P是這條拋物線上第一象限內的點
∴m＞0，n＞0，n=-m²+4
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2
∵OD∥PG，OD=1.5
∴

OA

AG

=

OD

PG

即

2

2+m

=

1.5

-m2+4

解得m₁=

5

4

，m₂=-2（不合題意，舍去）
∴OG=

5

4

又CD=OC-OD=4-1.5=2.5
S_△PDC=

1

2

•CD•OG=

1

2

×

5

2

×

5

4

=

25

16

S_△AOD=

1

2

•OA•OD=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

=

24

16

∴S_△PDC＞S_△AOD
又∵S_△APC=S_△PDC+S_△ADC，S_△AOC=S_△AOD+S_△ADC
∴S_△APC＞S_△AOC
②分兩種情況討論：
在第一象限內，設在拋物線上存在點Pn（m，n），使得S_△APnC=S_△AOC．
過Pn作PnM⊥x軸于點M，

則m＞0，n＞0，n=-m²+4
OM=m，PnM=-m²+4，OA=2，AM=m+2
設APn交y軸于點Dn，設ODn=t
∵ODn∥PnM，
∴

OA

AM

=

ODn

PnM

即

2

m+2

=

t

-m2+4

化簡為mt+2t=8-2m²，DnC=OC-ODn=4-t
S_△AODn=

1

2

OA•ODn=

1

2

×2×t=t；
S_△PnCDn=

1

2

CDn•OM=

1

2

（4-t）×m；
∵S_△AOC=S_△APnC
∴S_△AODn=S_△PnCDn
即t=

1

2

（4-t）×m，mt+2t=4m
將mt+2t=4m代入mt+2t=8-2m²中有8-2m²=4m
整理得m²+2m-4=0，m₁=

5

-1，m₂=-1-

5

∵m＞0，
∴m₂=-1-

5

（不合題意，舍去）
∴m=

5

-1，
此時n=-m²+4=-（

5

-1）²+4=2

5

-2
∴存在點Pn坐標為（

5

-1，2

5

-2），
使得S_△APnC=S_△AOC在第二象限內，這條拋物線上任取一點Pnn，連接PnnA，PnnC，分別過點A作直線l₁垂直x軸，過點C作直線l₂垂直于y軸，l₁與l₂相交于Q點，則四邊形QAOC是矩形，S_△AQC=S_△AOC．

設Pnn點坐標為（mn，nn）
則有-2＜mn＜0
∵nn=-m_n²+4
∴0＜nn＜4
∴點Pn_n在矩形QAOC內，又易知Pnn在△AQC內
∴S_△APnC＜S_△AQC，S_△APnC＜S_△AOC
∴在第二象限內這條拋物線上不存在點Pnn，使S_△APnC=S_△AOC．

點評：本題結合三角形的相關知識考查了二次函數的綜合應用，由于題中的數據較多，計算過程較復雜，因此細心求解是解題的關鍵．