Question

【題目】在中，，點是直線上一點(不與重合)，以為一邊在的右側作，使，，連接．

(1)如圖1，當點在線段上時．如果，則__________．

(2)設，．

①如圖2，當點在線段上移動時，之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．

②當點在直線上移動時，之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）90°．（2）①α+β=180°，理由見解析；②當點D在射線BC上時，α+β=180°；當點D在射線BC的反向延長線上時，α=β

【解析】

（1）問要求∠BCE的度數(shù)，可將它轉化成與已知角有關的聯(lián)系，根據(jù)已知條件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形中對應角相等，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出結論；

（2）問在第（1）問的基礎上，將α+β轉化成三角形的內(nèi)角和；

（3）問是第（1）問和第（2）問的拓展和延伸，要注意分析兩種情況．

（1）90°．

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD與△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，

∴∠BCE=∠B+∠ACB，

又∵∠BAC=90°，

∴∠BCE=90°；

（2）①α+β=180°，

理由：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD與△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，

∴∠B+∠ACB=β，

∵α+∠B+∠ACB=180°，

∴α+β=180°；

②當點D在射線BC上時，α+β=180°；

如圖：

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，

∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，

∴α+β=180°；

當點D在射線BC的反向延長線上時，α=β；

如圖：

理由：∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中，

,

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，

∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．