Question

26、已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離OE、OF相等，且OB=OC．
（1）如圖，若點O在邊BC上，求證：AB=AC；

（2）如圖，若點O在△ABC的內部，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，說明理由；
（3）若點O在△ABC的外部，則（1）的結論還成立嗎？請畫圖表示．

Answer 1

分析：（1）可由HL證得Rt△OBE≌Rt△OCF，從而得到∠B=∠C?AB=BC；
（2）過O作OE⊥AB，OF⊥AC，也可由HL證得Rt△OBE≌Rt△OCF，得到∠EBO=∠FCO，由等邊對等角得到∠OBC=∠OCB，故有∠ABC=∠ACB?AB=AC；
（3）通過作圖，可知AB=AC不一定成立．

解答：解：（1）證明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
∵OB=OC，OE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）成立．
過O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E、F，
則∠BEO=∠CFO=90°，
∵OB=OC，OE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF．
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

（3）不一定成立，如右圖．

點評：本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質．利用全等三角形的性質求線段相等時證明線段相等的最常用方法之一，要熟練掌握．