Question

【題目】在數軸上，把表示數的點稱為基準點，記作點．對于兩個不同的點和，若點、點到點的距離相等，則稱點和點互為基準變換點．例如：下圖中，點表示數，點N表示數，它們與基準點的距離都是個單位長度，點與點互為基準變換點．

(1)已知點表示數，點表示數，點與點互為基準變換點．

①若，則_______ ；

②用含的式子表示，則_____；

(2)對點進行如下操作：先把點表示的數乘以，再把所得數表示的點沿著數軸向左移動個單位長度得到點．若點與點互為基準變換點，則點表示的數是_____________；

（3）點在點的左邊，點與點之間的距離為個單位長度．對、兩點做如下操作：點沿數軸向右移動個單位長度得到，為的基準變換點，點沿數軸向右移動個單位長度得到，為的基準變換點，……，依此順序不斷地重復，得到，，…，．為的基準變換點，將數軸沿原點對折后的落點為，為的基準變換點，將數軸沿原點對折后的落點為，……，依此順序不斷地重復，得到，，…，．若無論為何值，與兩點間的距離都是，則_________．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3）1或3

【解析】

（1）①根據互為基準變換點的定義可得出，代入數據即可得出結論；

②根據，變換后即可得出結論；
（2）設點A表示的數為x，根據點A的運動找出點B，結合互為基準變換點的定義即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）根據點Pn與點Qn的變化找出變化規律“P4n-1=2-m，Q4n-1=-m+4n-8；P4n=m、Q4n=m+8-4n”，再根據兩點間的距離公式即可得出關于n的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．

（1）①∵點A表示數x，點B表示數y，點A與點B互為基準變換點，
∵，
當時；

故答案為：；
②∵，
∴，
故答案為：；
（2）設點A表示的數為x，
根據題意得：，
解得：；
故答案為：；
（3）設點P表示的數為，則點Q表示的數為，
由題意可知：表示的數為，表示的數為，表示的數為，表示的數為，表示的數為，…，
表示的數為，表示的數為，表示的數為，表示的數為，表示的數為，表示的數為，…，
∴，；

，．
①令||=4，即||=4，
解得：或，
又∵為正整數，
∴為4的倍數，
∴6和14不符合題意，舍去；
②令||=4，即||=4，
解得：或．
故答案為：1或3．