Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M,經過B,M兩點的⊙O交BC于點G,交AB于點F,FB恰為⊙O的直徑.

（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）當BC=4,cosC=時，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）通過證明OM⊥AE即可證明AE與⊙O相切。    
(2）半徑為

試題分析：（1）證明：連接OM，則OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵點M在圓O上，
∴AE與⊙O相切；
（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線
∴BE=BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cos C=
∴BE=2，cos∠ABC=
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=
=6
設⊙O的半徑為r，則AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴=
∴=
解得r=
∴⊙O的半徑為
點評：此題是綜合題，考查等腰三角形，平行線，角平分線，直線和圓的位置關系，相似三角形等知識點