Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4經過點A（﹣8，0），對稱軸是直線x＝﹣3，點B是拋物線與y軸交點，點M、N同時從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度分別沿x軸的負半軸、y的負半軸方向勻速運動，（當點N到達點B時，點M、N同時停止運動）．過點M作x軸的垂線，交直線AB于點C，連接CN、MN，并作△CMN關于直線MC的對稱圖形，得到△CMD．設點N運動的時間為t秒，△CMD與△AOB重疊部分的面積為S．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）當0＜t＜2時，

①求S與t的函數關系式.

②直接寫出當t＝_____時，四邊形CDMN為正方形.

（3）當點D落在邊AB上時，過點C作直線EF交拋物線于點E，交x軸于點F，連接EB，當S△CBE：S△ACF＝1：3時，直接寫出點E的坐標為______．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣4；（2）①S＝﹣t2+2t；②；（3）（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．

【解析】

（1）拋物線y＝ax2+bx﹣4經過點A（﹣8，0），對稱軸是直線x＝﹣3，則拋物線與x軸另外一個交點坐標為：（2，0），則拋物線的表達式為：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），根據x=0時y=-4可得﹣16a＝﹣4，解得：a＝，即可求解；（2）①根據OM＝ON＝t可得AM＝8﹣t，由MC∥y軸，根據平行線分線段成比例定理可得，可得MC＝（8﹣t），進而可得S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t；②根據MC＝ND＝2t，即可求解；（3）過點E、F分別作AB的垂線交AB于點G、H，利用待定系數法可得直線AB的解析式，根據對稱性質可得DM＝MN＝t，可證明△DMN是等腰直角三角形，可得DN=MN，即可求出t值，可得點C（﹣2，﹣3），即可得出AC=3BC，根據S△CBE：S△ACF＝1：3，可得EG＝FH，利用AAS可證明△FHC≌△EGC，可得FC=EC，故點C是EF的中點，設F（m，0），根據中點坐標公式可用m表示出E點坐標，代入二次函數解析式即可求出m的值，可得E點坐標．

（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣4經過點A（﹣8，0），對稱軸是直線x＝﹣3，

∴拋物線與x軸另外一個交點坐標為（2，0），

∴拋物線的表達式為：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），

∵點B是拋物線與y軸交點，

∴B（0，4），

∴﹣16a＝﹣4，

解得：a＝，

∴拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣4.

（2）如圖1，①∵OM＝ON＝t，

∴AM＝8﹣t，

∵MC∥y軸，

∴，即，

解得：MC＝（8﹣t），

∵△CMN與△CMD關于直線MC對稱，

∴S△CMD=S△CMN，

∵0＜t＜2，

∴S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t.

②四邊形CDMN為正方形時，MN=，

∴MC＝ND＝=2t，

∴MC＝（8﹣t）＝2t，

解得：t＝，

故答案為：

（3）設直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A（-8，0），B（0，-4），

∴，

解得：，

∴直線AB的表達式為：y＝﹣x﹣4，

如圖2，當點D在AB上時，設點M（﹣t，0），

∴N（0，-t），

當y=-t時，﹣x﹣4=-t，

解得：x=2t-8，

∴點D（2t﹣8，﹣t），

∴DN=8-2t，

∵OM=ON=t，

∴MN＝t，∠OMN=∠ONM=45°，

∵MC⊥x軸，

∴∠CMN=45°，

∵△CMN與△CMD關于直線MC對稱，

∴∠DMC=∠CMN=45°，

∴∠DMN=90°，

∴△DMN是等腰直角三角形，

∴DN=MN，即8-2t=×t，

解得：t=2，

∵點C在直線AB上，MC⊥x軸，

∴當x=-2時，y=-×(-2)-4=-3，

∴點C（﹣2，﹣3），

∴AC＝=3，BC==，

∴AC＝3BC，

如圖3,過點E、F分別作AB的垂線交AB于點G、H，

∵S△CBE：S△ACF＝1：3，

∴AC·FH=3×BC·EG，即×3BC·FH=3×BC·EG，

∴EG＝FH，

∵FH⊥AB，EG⊥AB，

∴∠FHC=∠EGC=90°，

在△FHC和△EGC中，，

∴△FHC≌△EGC，

∴FC=EC，

∴點C是EF的中點，設點F（m，0），E(x，y)，

∵點C（﹣2，﹣3），

∴，，

解得：x=-4-m，y=-6，

∴點E（﹣4﹣m，﹣6），

把點E的坐標代入拋物線表達式得：-6=（-4-m）2+(-4-m)-4，

解得：m＝0或﹣2，

當m=0時，-4-m=-4，點E坐標為（-4，-6），

當m=-2時，-4-m=-2，點E坐標為（-2，6），

綜上所述：點E的坐標為：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6），

故答案為：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6）．