Question

（2009•湘西州）在直角坐標系xoy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于兩點A、B，與y軸交于點C，其中A在B的左側，B的坐標是（3，0）．將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經過點B、C．
（1）求k的值；
（2）求直線BC和拋物線的解析式；
（3）求△ABC的面積；
（4）設拋物線頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位后，直線的解析式為y=kx+3，由于這條直線過B、C兩點，因此C點的坐標為（0，3），將B點坐標代入直線的解析式后即可求出k的值．
（2）直線BC的解析式在（1）中已求得．根據拋物線過B、C兩點，那么可將這兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）根據（2）中得出的拋物線的解析式即可求出A點的坐標，那么△ABC底邊AB的長就能求出來了．而△ABC的高OC可根據C點的坐標得出，因此根據三角形的面積計算公式可得出△ABC的面積．
（4）根據（2）得出的拋物線的解析式可求出拋物線的對稱軸的解析式．如果設拋物線交BC于E，交x軸于F點．根據對稱軸的解析式與BC所在直線的解析式不難得出E點的坐標為（2，1），此時AF=FE=FB，如果連接AE，那么三角形AEB就是個等腰直角三角形．于是三角形AEC也是直角三角形，那么∠ACE和∠APF的正切值就應該相等（已知∠ACE=∠APD），那么可得出的等量關系為AE：CE=AF：PF，據此可求出PF的長，也就能得出P點的坐標．
解答：解：（1）直線y=kx沿y軸向上平移3個單位后，過兩點B，C
從而可設直線BC的方程為y=kx+3
令x=0，得C（0，3）
又B（3，0）在直線上，
∴0=3k+3
∴k=-1．

（2）由（1），直線BC的方程為y=-x+3
又拋物線y=x²+bx+c過點B，C
∴
解得
∴拋物線方程為y=x²-4x+3．

（3）由（2），令x²-4x+3=0
得x₁=1，x₂=3
即A（1，0），B（3，0），而C（0，3）
∴△ABC的面積S_△ABC=（3-1）•3=3平方單位．

（4）由（2），D（2，-1），設對稱軸與x軸交于點F，與BC交于E，可得E（2，1），
連接AE．
∵AF=FB=FE=1
∴AE⊥CE，且AE=，CE=2
（或先作垂線AE⊥BC，再計算也可）
在Rt△AFP與Rt△AEC中，
∵∠ACE=∠APE（已知），
∴即=，
∴PF=2．
∴點P的坐標為（2，2）或（2，-2）．
點評：本題主要考查了一次函數的圖象的平移以及二次函數的應用等知識點．對待一次函數的平移，只要記住并理解“左加右減，上加下減”即可作出正確的解答．