Question

【題目】在平面直角坐標系中，定義點P（x，y）的變換點為P′（x+y，x﹣y）．

（1）如圖1，如果⊙O的半徑為2，

①判斷M（2，0），N（﹣2，1）兩個點的變換點M′、N′與⊙O的位置關系；

②若點P在直線y=x-2上，點P的變換點P′不在⊙O外，結合圖形求點P橫坐標x的取值范圍．

（2）如圖2，如果⊙O的半徑為1，且P的變換點P′在直線y=﹣2x+5上，求點P與⊙O上任意一點距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①M’點在圓O上，點N’不在圓O上.；②；（2）.

【解析】

（1）①根據新定義得到點M的變換點M′的坐標為（2，2），于是根據勾股定理計算出OM′=2，則根據點與圓的位置關系的判定方法可判斷點M的變換點在⊙O上；同樣方法可判斷點N（-1，-3）的變換點在⊙O外；②利用一次函數圖象上點的坐標特征，設P點坐標為（x，x-2），利用新定義得到P點的變換點為P′的坐標為（2x-2， 2），則根據勾股定理計算出OP′=，然后利用點與圓的位置關系得到≤2，解不等式得；

（2）設點P′的坐標為（x，-2x+5），P（m，n），根據新定義得到m+n=x，m-n=-2x+5，消去x得3m+n=5，則n=-3m+5，于是得到P點坐標為（m，-3m+5），則可判斷點P在直線y=-3x+5上，設直線y=-3x+5與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過O點作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖2，易得A（，0），B（0，5），利用勾股定理計算出AB=，再利用面積法計算出OH=，所以CH=-1，當點P在H點時，PC為點P與⊙O上任意一點距離的最小值．

（1）①M（2，0）的變換點M′的坐標為（2，2），則OM′==2，所以點M（2，0）的變換點在⊙O上；

N（-2，1）的變換點N′的坐標為（-1，-3），則ON′==＞2，所以點N（-2，-1）的變換點在⊙O外；

②設P點坐標為（x，x-2），則P點的變換點為P′的坐標為（2x-2，2），則OP′=，

∵點P′不在⊙O外，

∴≤2，

∴（2x-2）2≤4，即（x-1）2≤1，

∴-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，

即點P橫坐標的取值范圍為0≤x≤2；

（2）設點P′的坐標為（x，-2x+5），P（m，n），

根據題意得m+n=x，m-n=-2x+5，

∴3m+n=5，

即n=-3m+5，

∴P點坐標為（m，-3m+5），

∴點P在直線y=-3x+5上，

設直線y=-3x+5與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過O點作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如圖，

則A（，0），B（0，5），

∴AB==，

∵OHAB=OAOB，

∴OH==，

∴CH=-1，

即點P與⊙O上任意一點距離的最小值為-1．