Question

【題目】請閱讀下列材料，并完成相應的任務。
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希臘)是有史以來最偉大的數學家之一.

阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是圓O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦）， BC＞AB，M是 的中點，即CD=AB+BD。下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分過程。
證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA、MB、MC、MG。因為M是弧ABC的中點，所以MA=MC.
任務：
（1）請按照上面的證明思路，完整證明阿基米德折弦定理，即CD=AB+BD。
（2）如圖3，已知等邊△ABC內接于圓O，AB=1，D為 上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，則△BDC的周長是.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG;

∵M是狐ABC的中點，

∴MA=MC.

在△MBA和△MGC中,

∵

∴△MBA≌△MGC（SAS）,

∴MB=MG,

又∵MD⊥BC,

∴BD=GD

∴DC=GC+GD=AB+BD

（2）解：如圖3，截取BF=CD,連接AF,AD,CD;
根據題意可得：AB=AC,∠ABF=∠ACD,
在△ABF和△ACD中
∵
∴△ABF≌△ACD（SAS）
∴AF=AD
∵AE⊥BD
∴FE=DE,則CD+DE=BE
∵∠ABD=45°
∴BE==,
則C△BDC=+1
因此，本題正確答案是+1
【解析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進而得出MB=MG,再利用等腰三角形的性質得出BD=GD，即可得出答案；
（2）首先證明△ABF≌△ACD（SAS）,進而得出AF=AD,以及CD+DE=BE,進而求出DE的長即可得出答案。
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）即可以解答此題．