Question

【題目】定義符號min{a，b}的含義為：當a≥b時，min{a，b}=b；當a＜b時，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．
（1）求min{x2﹣1，﹣2}；
（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求實數k的取值范圍；
（3）已知當﹣2≤x≤3時，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接寫出實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x2≥0，

∴x2﹣1≥﹣1，

∴x2﹣1＞﹣2．

∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2，

（2）解：∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1，

∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．

∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，

∴k﹣1≥﹣3．

∴k≥﹣2，

（3）解：對于y=x2﹣2x﹣15，當x=﹣2時，y=﹣7，

當x=3時，y=﹣12，

由題意可知拋物線y=x2﹣2x﹣15與直線y=m（x+1）的交點坐標為（﹣2，﹣7），（3，﹣12），

所以m的范圍是：﹣3≤m≤7．

【解析】（1）根據平方的非負性得出x2≥0，然后根據不等式的性質1得出x2﹣1≥﹣1，從而判斷出x2﹣1＞﹣2，根據新定義得出結論；
（2）將代數式x2﹣2x+k配方變形成（x﹣1）2+k﹣1，根據平方的非負性得出（x﹣1）20，進而得出（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1，再根據min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，從而得出不等式k﹣1≥﹣3，解不等式即可；
（3）把兩個界點x=-2與x=3分別代入函數y=x2﹣2x﹣15得出對應的函數值，從而知當﹣2≤x≤3時，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15時，拋物線y=x2﹣2x﹣15與直線y=m（x+1）的交點坐標為（﹣2，﹣7），（3，﹣12），從而得出m的取值范圍。

【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質和一元一次不等式的解法的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項； ⑤系數化為1（特別要注意不等號方向改變的問題）才能正確解答此題．