Question

數學課堂上，徐老師出示一道試題：
如圖1所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點．若∠AMN=60°，求證：AM=MN．
（1）經過思考，小明展示了一種正確的證明過程．請你將證明過程補充完整．
證明：在AB上截取EA=MC，連接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，∴∠1=∠2．
又CN平分∠ACP，∠4=

1

2

∠ACP=60°．∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．
∴△BEM為等邊三角形．∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．…②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，
∵

 

．
∴△AEM≌△MCN （ASA）．∴AM=MN．

（2）若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A₁B₁C₁D₁”（如圖2），N₁是∠D₁C₁P₁的平分線上一點，則當∠A₁M₁N₁=90°時，結論A₁M₁=M₁N₁．是否還成立？（直接寫出答案，不需要證明）
（3）若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形A_nB_nC_nD_n…X_n”，請你猜想：當∠A_nM_nN_n=

 

°時，結論A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

分析：（1）由△AEM≌△MCN 所需角邊角條件而得；（2）判斷，成立，再截去；（3）當n=3，4時的度數，來猜想．

解答：（1）證明：由下一步△AEM≌△MCN （ASA）所需條件證得：
∠1=∠2．AE=MC，∠MCN=∠5；

（2）解：成立．在A₁B₁上截取A₁H=M₁C₁；

（3）由∠AMN=60°=

(3-2)

3

×180，∠A₁M₁N₁=90°=

(4-2)

4

×180°，
猜想：∠A_nM_nN_n=

(n-2)

n

×180°．

點評：本題考查了正方形的性質，（1）由△AEM≌△MCN 所需角邊角條件來求；（2）判斷成立后，再截去；（3）當n等于3，4時，得到的度數，從而猜得當n=n時的度數．