Question

19．如圖，已知圓O的直徑AB與CD互相垂直，E為OB中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交圓O于G，AG交CD于F，求$\frac{DF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 如圖，連接AD、DG，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，設(shè)OC=x，則OE=BE=$\frac{1}{2}$x，根據(jù)勾股定理求得CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x、AD=$\sqrt{2}$x，由∠ADO=45°知DH=FH、AH=AD-FH=$\sqrt{2}$x-FH，證Rt△COE∽R(shí)t△AHF得$\frac{FH}{AH}$=$\frac{OE}{CO}$，可得FH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x，繼而可知DF=$\sqrt{2}$FH=$\frac{2}{3}$x，由CF=CD-DF=$\frac{4}{3}$x可得答案．

解答 解：如圖，連接AD、DG，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，

設(shè)OC=x，則OE=BE=$\frac{1}{2}$x，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∵∠ADO=45°，
∴DH=FH，
則AH=AD-FH=$\sqrt{2}$x-FH，
∵∠DAF=∠DCG，∠AHF=∠COE，
∴Rt△COE∽R(shí)t△AHF，
∴$\frac{FH}{AH}$=$\frac{OE}{CO}$，即$\frac{FH}{\sqrt{2}x-FH}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{x}$，
解得：FH=$\frac{\sqrt{2}}{3}$x，
∴DF=$\sqrt{2}$FH=$\frac{2}{3}$x，
∵CD=2OC=2x，
∴CF=CD-DF=$\frac{4}{3}$x，
則$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\frac{2}{3}x}{\frac{4}{3}x}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓周角定理、勾股定理、相似三角形判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)表示出所需線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．