Question

如圖，直線分別與兩坐標軸交于A，B兩點，點C從A點出發沿射線BA方向移動，速度為每秒1個單位長度．以C為頂點作等邊△CDE，其中點D和點E都在x軸上．半徑為的⊙M與x軸、直線AB相切于點G、F．

（1）直線AB與x軸所夾的角∠ABO＝    　    °；

（2）求當點C移動多少秒時，等邊△CDE的邊CE與⊙M相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）30；（2）4或.

【解析】

試題分析：（1）根據直線解析式求出OA、OB的長度，再由∠ABO的正切值，可求出∠AOB的度數：直線AB的解析式為，令x=0，則y=1，令y=0，則，∵，∴∠ABO=30°；（2）設點C移動t秒后與⊙M相切，分兩種情況討論，①當CE在⊙M左側相切于點H；②當CE在⊙M右側相切于點H，用含t的式子表示出CE，建立方程，解出即可得出答案.

試題解析：（1）30；

（2）設點C移動t秒后與⊙M相切，

①當CE在⊙M左側相切于點H，如圖（1），連接MF、MG、MH，

∵AB、CE、BO均為⊙M的切線，∴MF⊥AB，MH⊥CE，MG⊥BO.

∵∠ABO=30°，△CDE是等邊三角形，∴∠BCE=90°. ∴四邊形CHMF為矩形.

∵MF=MH，∴四邊形CHMF為正方形. ∴CH=MH=.

∵EH、EG為⊙M的切線，∠CED=60°，∴∠HEM=60°. ∴.

∵，∴，解得t=4.

②當CE在⊙M右側相切于點H（如圖（2）），

由①證得：CH=MH=.

∵∠HEM=30°，∴.

∴，解得，t=．

考點：1.圓的綜合題；2.動點問題；3．銳角三角函數定義；4.特殊角的三角函數值；5.切線的性質；6. 等邊三角形的性質；7. 正方形的判定和性質；8.分類思想的應用.