Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣2），點A的坐標是（2，0），P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E，拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點P在第二象限內，且PE＝OD，求△PBE的面積．

（3）在（2）的條件下，若M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點M，使△BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）；（3）M坐標為（，）或（﹣，）．

【解析】

（1）點A（2，0）、點B（-4，0），則函數的表達式為：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），即可求解；

（2）PE=OD，則PE=（x2+x-2-x+2）=（-x），求得：點D（-5，0），利用S△PBE=PE×BD=（x2+x-2-x+2）（-4-x），即可求解；

（3）分兩種情況求解即可：①當BD＝BM時，②當BD＝DM（M′）時．

（1）點A的坐標是（2，0），拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，則點B（﹣4，0），

則函數的表達式為：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），

把點C（0，-2）代入得：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣2；

（2）將點B、C的坐標代入一次函數表達式：y＝mx+n并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x﹣2，則tan∠ABC＝，則sin∠ABC＝，

設點D（x，0），則點P（x，x2+x﹣2），點E（x，﹣x﹣2），

∵PE＝OD，OD＝﹣x，

∴PE＝（x2+x﹣2+x+2）＝x2+x，

即x2+x=-x，

解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），

即點D（﹣5，0），

S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2+x+2）（﹣4﹣x）＝；

（3）由題意得：△BDM是以BD為腰的等腰三角形，

①當BD＝BM時，過點M作MH⊥x軸于點H，

BD＝1＝BM，

則MH＝yM＝BMsin∠ABC＝1×＝，

則xM＝，

故點M（，）；

②當BD＝DM（M′）時，

同理可得：點M′（﹣，）；

故點M坐標為（﹣，﹣）或（﹣，）．