Question

涪陵榨菜是重慶市農村經濟中產銷規模最大、品牌知名度最高、輻射帶動能力最強的特色支柱產業．某知名榨菜企業為順應市場需求推出了“五味榨菜”禮盒，成本為20元/盒．年銷售量y（萬盒）與售價x（元/盒）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．
（1）結合圖象求y與x之間的函數關系；
（2）求“五味榨菜”禮盒的年獲利w（萬元）與x之間的函數關系，并求當售價為多少元時可以獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？
（3）去年，公司一直按照（2）中獲得最大利潤時的售價進行銷售，今年在保持售價不變的基礎上，公司發力品牌營銷，決定拿出部分資金進行廣告宣傳．經調查發現：①每年有11萬盒產品供給固定客戶，其余產品全部被潛在客房購買；②若廣告投入為a萬元，則潛在客戶的購買量將是去年購買量的m倍，則m=-

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900

(a-30)2+2；③受公司生產規模及資金限制，公司的年產量不超過28萬盒，廣告投入不超過32萬元．問公司在廣告上投入多少資金可以使公司獲得最大利潤，最大利潤為多少萬元？（利潤=總銷售額-總成本-廣告費）

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象可得經過點（20，40），（30，20），利用待定系數法求解析式即可．
（2）表示出w與x之間的函數關系式，然后利用配方法可確定答案；
（3）先求出潛在客戶的購買量，根據②、③的要求可得出a的值，結合二次函數的知識確定最大利潤．

解答：解：（1）設y=kx+b，將點（20，40），（30，20）代入得：

20k+b=40 30k+b=20

，
解得：

k=-2 b=80

，
故y=-2x+80；
（2）w=（x-20）×（-2x+80）=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
當x=30時，w_最大=200．
答：定價為30元時，利潤最大，最大利潤為200萬元．
（3）當x=30時，y=20，則潛在客戶購買量為20-11=9萬盒，
w=（30-20）×11+（30-20）×9[-

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900

（a-30）²+2]-a
=-

1

10

a²+5a+200
=-

1

10

（a-25）²+262.5，
由題意：11+9[-

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900

（a-30）²+2]≤28，
整理得：（a-30）²≥100，
解（a-30）²=100得：a₁=40，a₂=20，

由圖知0≤a≤20或a≥40，
又∵a≤32，
∴0≤a≤20，
在w=-

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10

（a-25）²+262.5中，當a＜25時，w隨a的增大而增大，
故當a=20時，w_最大=-

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10

（20-25）²+262.5=260．
答：當廣告費為20萬時，利潤最大，最大利潤為260萬元．

點評：本題考查了二次函數的應用及一次函數的應用，涉及了待定系數法求函數解析式及配方法求二次函數最值得知識，難點在第三問，注意先吃透題意，然后再利用數學知識求解．