Question

【題目】在直角坐標系xOy中，定義點C（a，b）為拋物線L：y=ax2+bx（a≠0）的特征點坐標．

（1）已知拋物線L經過點A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征點坐標；

（2）若拋物線L1：y=ax2+bx的位置如圖所示：

①拋物線L1：y=ax2+bx關于原點O對稱的拋物線L2的解析式為 ；

②若拋物線L1的特征點C在拋物線L2的對稱軸上，試求a、b之間的關系式；

③在②的條件下，已知拋物線L1、L2與x軸有兩個不同的交點M、N，當一點C、M、N為頂點構成的三角形是等腰三角形時，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）（，2）；（2）①y=﹣ax2+bx．②b=2a2．③﹣或﹣．

【解析】

試題分析：（1）結合點A、B點的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線L的函數解析式，再結合特征點的定義，即可得出結論；（2）①由拋物線L1：y=ax2+bx與拋物線L2關于原點O對稱，可將y換成﹣y，將x換成﹣x，整理后即可得出結論；②根據拋物線L2的解析式可找出它的對稱軸為：x=，由拋物線L1的特征點C在拋物線L2的對稱軸上可得出a=，變形后即可得出結論；③結合②的結論，表示出點C、M、N三點的坐標，由兩點間的距離公式可得出MN、MC、NC的長度，結合等腰三角形的性質分三種情況考慮，分別根據線段相等得出關于a的一元四次方程，解方程再結合a的范圍即可得出a的值．

試題解析：（1）將點A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到拋物線解析式中，得，解得：．∴拋物線L的解析式為y=+2x，∴它的特征點為（，2）．（2）①∵拋物線L1：y=ax2+bx與拋物線L2關于原點O對稱，∴拋物線L2的解析式為﹣y=a（﹣x）2+b（﹣x），即y=﹣ax2+bx．故答案為：y=﹣ax2+bx．②∵拋物線L2的對稱軸為直線：x=﹣=．∴當拋物線L1的特征點C（a，b）在拋物線L2的對稱軸上時，有a=，∴a與b的關系式為b=2a2．③∵拋物線L1、L2與x軸有兩個不同的交點M、N，∴在拋物線L1：y=ax2+bx中，令y=0，即ax2+bx=0，解得：x1=﹣，x2=0（舍去），即點M（﹣，0）；在拋物線L2：y=﹣ax2+bx中，令y=0，即﹣ax2+bx=0，解得：x1=，x2=0（舍去），即點N（，0）．∵b=2a2，∴點M（﹣2a，0），點N（2a，0），點C（a，2a2）．∴MN=2a﹣（﹣2a）=4a，MC=，NC=．因此以點C、M、N為頂點的三角形是等腰三角形時，有以下三種可能：（1）MC=MN，此時有： =4a，即9a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=±，∵a＜0，∴a=﹣；（2）NC=MN，此時有： =4a，即a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=±，∵a＜0，∴a=﹣；（3）MC=NC，此時有： =，即9a2=a2，解得：a=0，又∵a＜0，∴此情況不存在．綜上所述：當以點C、M、N為頂點的三角形是等腰三角形時，a的值為﹣或﹣．